点推定 - maakiの備忘録

母集団からいくつかのサンプルを抽出してその母集団の平均分散を推定する方法

標本平均： $x = \frac{x _ 1+x _ 2+x _ 3+…+x _ n}{n}$

標本分散： $S ^ 2 = \frac{(x _ 1-\overline{x}) ^ 2+(x _ 2-\overline{x}) ^ 2+(x _ 3-\overline{x}) ^ 2+…+(x _ n- \overline{x} ))}{n}$

不偏分散 : $S ^ 2 = \frac{(x _ 1-\overline{x}) ^ 2+(x _ 2-\overline{x}) ^ 2+(x _ 3-\overline{x}) ^ 2+…+(x _ n- \overline{x} ))}{n-1}$

不偏分散は標本平均を $\frac{n}{n-1}$ 倍したものである。なのでサンプル数nが大きくなると標本分散＝不偏分散になるが小さい場合不偏分散が標本分散より大きくなる。

不偏分散が大きくなる直感的な理由としてはサンプルで作成した標本平均は実際の真の平均よりも偏りがある。

そのため標本分散の計算に使用される標本平均にも偏りが生じているため、母集団の分散を推定する際にはより大きな分散を使うことが望ましいとされるため、不偏分散が使用される。